Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del calore6. [15/9/2009 (ex)II] Esprimere mediante la formula di Duhamel la soluzionedel problemaR.u tt −c 2 u xx = cosx 2 , 0 < x < ∞,t > 0,u x (0,t) = 0 t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < ∞,u t (x,0) = sinx, 0 < x < ∞.u(x,t) = 1 2c∫x+ctũ 1 (ξ)dξ + 1 2c∫ tx+c(t−τ) ∫˜f(s)dsdτ , x > 0,t > 0,x−ct0x−c(t−τ)oveũ 1 (x) = sin|x|, ˜f(x) = cosx 2 .420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del calore1. [16/9/2005 (ex)I] Dimostrare che la soluzione u diu t −u xx = 0, 0 < x < 1,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(1,t) = 1, t > 0,u(x,0) = x, 0 < x < 1,soddisfalimt→∞ |u(x,t)−1|t100 = 0.2. [16/9/2005 (ex)II] Dimostrare che la soluzione u diu t −u xx = 0, 0 < x < 2,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(2,t) = 3, t > 0,u(x,0) = 3 x, 0 < x < 2,2soddisfalimt→∞ |u(x,t)−3|t100 = 0.87