Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del caloreQuindiQuindi, per 0 < x < L, t > 0u(x,t) = e t w(x,t) =α n (t) = γ n e −n2 π 24L 2 t .∞∑n=1(1− )t (γ n en2 π 24L 2 sinnπ x+L2LSi noti anche che vale γ 1 ≠ 0. Quindi tutti i termini della serie tendono a 0 pert → ∞ se e solo se1 < n2 π 24L 2 , n = 1.).R.L < π 2 .13. [28/3/2008 (ex)I] Si consideri la soluzione del problemau t −Du xx = ax, 0 < x < L,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(L,t) = b, t > 0,u(x,0) = 1, 0 < x < L,ove a, b sono costanti positive.Si dimostri chelim u(x,t) = ω(x), 0 < x < L,t→∞e si identifichi la funzione ω.SoluzioneSe il limite ω esiste è ragionevole supporre che soddisfiche ammette l’unica soluzioneConsideriamo quindi la funzioneche soddisfa−Dω xx (x) = ax, ω(0) = 0, ω(L) = b,ω(x) = b L x+ a6D x(L2 −x 2 ).v(x,t) = u(x,t)−ω(x),v t −Dv xx = 0, 0 < x < L,t > 0,v(0,t) = 0, t > 0,v(L,t) = 0, t > 0,v(x,0) = 1−ω(x), 0 < x < L.95