Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

630. Fourier equazione di Laplacecon il metodo di Fourier.SoluzioneConviene scrivere u = v +w, ove v, w risolvono problemi simili a quello per u, macon v(L,y) = 0, e w(x,0) = 0. Riflettere v in modo dispari intorno a x = L, eottenere un problema con dati di Neumann v x = 0 su x = 0, x = 2L. Svilupparein serie di coseni e ottenere∞∑ ( nπ) ( nπ)v(x,t) = α n cos2L x cosh2L (y −H) ,n=1( nπ)α n cosh2L H = 4L ((−1) n(nπ) 2 −1 ) + 4L ( nπ)nπ sin .2Riflettere w in modo dispari intorno a y = 0. Si passa a un problema con datiw y = 0 sui bordi y = ±H, posto per −H < y < H, da risolvere per serie di solicoseni (in y):w(x,t) =∞∑n=1( nπ)A n cosh2H L = − 4 ( nπnπ sin 2( nπ) ( nπ)A n cos2H (y +H) cosh2H x).,2. [30/6/2003 (ex)I] Calcolare con il metodo di Fourier la soluzione diu xx +u yy = 0, 0 < x < L,0 < y < L,u x (0,y) = 0, 0 < y < L,u(L,y) = 0, 0 < y < L,u(x,0) = sin 2( πx) ,L 0 < x < L,u(x,L) = 0, 0 < x < L.SoluzioneScegliamo di sviluppare la soluzione u nel sistema ortonormale√2(L cos(2n+1) πx2LCerchiamo quindi i coefficienti α n della serieu(x,y) =∞∑n=0), n = 0,1,2,...(α n (y)cos(2n+1) πx2LQuesti si ottengono come soluzioni dei problemi al contorno(α ′′ n − (2n+1) π ) 2αn= 0,2Lα n (0) = γ 0n ,α n (L) = 0,).215