Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

620. Fourier equazione del calore dim. 1Dedurre dall’espressione trovata il valore dilim u(x,t).t→∞SoluzioneCerchiamo uno sviluppo in serie di u della formau(x,t) = α 0 (t)+∞∑α n (t)cos(nx).Per n ≥ 1 i coefficienti α n saranno determinati dai problemi di Cauchyove per 0 < t < π/µn=1α ′ n +Dn 2 α n = F n (t),α n (0) = 0,InveceF n (t) = 2 π∫ π0F(x,t)cos(nx)dx = 2 π= − 2λnπ sin(nµt).F n (t) = 0, t > π µ .∫ πµtλcos(nx)dxQuindi, dalla formula risolutiva delle e.d.o. lineari del primo ordine si ha:α n (t) = − 2λ ∫ ttnπ e−Dn2α n (t) = − 2λnπ e−Dn2 tSe invece n = 0, si ha il problemaove per 0 < t < π/µ0π∫ µ0e Dn2τ sin(nµτ)dτ , 0 < t < π µ ,e Dn2τ sin(nµτ)dτ ,α ′ 0 = F 0(t),α n (0) = 0,πµ ≤ t.∫ π ∫ πF 0 (t) = 1 F(x,t)dx = 1 λdx =π π0µtλ(π −µt)π.InveceF 0 (t) = 0, t > π µ .209