Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeSoluzioneRiflettiamo in modo pari il problema intorno a x = 0; si ottiene per la nuovaincognita vv tt −c 2 v xx = |x|t 2 , 0 < x < π,0 < t,v(−π,t) = 0, t > 0,v(π,t) = 0, t > 0,v(x,0) = 0, −π < x < π,v t (x,0) = |sinx|, −π < x < π.Traslando e riscalando in modo opportuno il sistema ortonormale dei seni in (0,π),cerchiamo v nella formaove T n risolvev(x,t) =∞∑n=1(T n (t)sinn x+π2),T ′′n +c2n2 4 T n = a n t 2 , T n (0) = 0, T ′ n (0) = b n.Qui gli a n sono i coefficienti della serie di Fourier di |x|, ossiaInoltreda cuia n = 1 π∫ π−πb n = 1 π(|x|sin∫ π−πn x+π2(|sinx|sin)dx = 2 n [1−(−1)n ].n x+π2)dx,⎧⎨ 2{ 1( nπ)b n = π n+2 sin − 1 ( nπ)2 n−2 sin , n ≠ 2,2⎩0, n = 2.Si vede che una soluzione particolare della e.d.o. per T n èA n t 2 +C n ,A n = 4a nc 2 n 2 , C n = − 32a nc 4 n 4 .Segue che l’integrale generale della e.d.o. è( cn) ( cn)T n (t) = k 1n cos2 t +k 2n sin2 t +A n t 2 +C n ,ove le costanti k 1n , k 2n sono individuate con l’aiuto dei dati iniziali:⎧⎧⎨k 1n +C n = T n (0) = 0, ⎨k 1n = −C n ,cn⎩2 k 2n = T n ′ (0) = b =⇒n, ⎩k 2n = 2b ncn .178