Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

535. Formula di rappresentazione eq. di Laplace nel cerchioR.u(x,y) = 1 π∫ ∞−∞( |η|)xarcsin1+|η| x 2 dη, x > 0,y > 0.+(y −η)223. [12/1/2009 (ex)II] Risolvere con la formula di rappresentazione per ilproblema nel semipiano per l’equazione di Laplace il problemaR.u(x,y) = 1 π∆u = 0, x > 0,y > 0,( y)u(0,y) = arcsin , y > 0,1+yu(x,0) = 0, x > 0.∫ ∞−∞(ηarcsin1+|η|)xx 2 dη, x > 0,y > 0.+(y −η)2535. Formula di rappresentazione eq. di Laplace nel cerchio1. [8/3/2004 (hw)I] Si usi la formula di Poisson per dimostrare che lasoluzione u di∆u = 0, in B = {x 2 +y 2 < 4},u(x,y) = χ {x>0,y>0} (x,y),su ∂B,soddisfau(1,1) > u(−1,−1).2. [28/6/2004 (ex)I] Scrivere mediante la formula di rappresentazione lasoluzione di∆u = 0, x 2 +y 2 < 1,u(x,y) = max(x 2 −y 2 ,0), x 2 +y 2 = 1.3. [28/6/2004 (ex)II] Scrivere mediante la formula di rappresentazione lasoluzione di∆u = 0, x 2 +y 2 < 1,u(x,y) = min(xy,0), x 2 +y 2 = 1.156