Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

300. Equazione delle ondeQuindi, ponendo s = −2ct < 0, τ = 2ct > 0,f ′ (s) = − 1 (c a − s )+g ′ (0), s < 0, (1)(2cτg(τ) = b −f(0), τ > 0. (2)2c)Integrando la (1) su (s,0) si haf(s) = f(0)− 1 c∫ s0(a − σ )dσ +g ′ (0)s.2cRestano per ora indeterminate le costanti g ′ (0) e f(0). La g ′ (0) si ricava derivandola (2):Allora si ha in Qu(x,t) = f(0)− 1 c∫x−ct0g ′ (0) = 1 2c b′ (0).(a − σ )dσ +b ′ (0) x+ct +b2c 2c( x+cte quindi la scelta di f(0) è in effetti ininfluente nell’espressione di u.R.ct−x( x+ct)u(x,t) = b +b ′ (0) x−ct∫2c+2 a(s)ds,2c 2cse a ∈ C 1 ([0,∞)), b ∈ C 2 ([0,∞)).02c)−f(0),3. [15/9/2004 (ex)I] Scegliere α in modo che il seguente problema abbiasoluzioni in C 1 (Ω), ove Ω = {0 < x < ct,t > 0}, e determinarle:u tt −c 2 u xx = 0, in Ω,u(0,t) = 0, t ≥ 0,u t (ct,t) = cost−α, t ≥ 0.SoluzioneSi sa che u risolve l’equazione delle onde in Ω se e solo seu(x,t) = f(x−ct)+g(x+ct), (x,t) ∈ Ω,con f, g opportune funzioni di una variabile, di classe C 2 .Si può osservare subito che non si avrà soluzione unica; se infatti u risolve ilproblema, anche ogni funzione nella formav(x,t) = u(x,t)+λx,λ ∈ Rè soluzione. Ancora in via preliminare, se u deve essere in C 1 (Ω), si deve avere1−α = u t (0,0) = ∂ ∂t u(0,t) |t=0= 0,60