Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del calorecontro la disuguaglianzau x (0,¯t) < 0,che segue dal Lemma di Hopf parabolico.24. [9/4/2010 (ex)I] Si consideri la soluzione u diu t −Du xx = −u+1, 0 < x < L,t > 0,Du x (0,t) = 0, t > 0,u(L,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < L,ove L > 0.Trovare ω ∈ C 1 ((0,L)) tale che valga la relazione di limitelim u(x,t) = ω(x), 0 < x < L,t→∞e dimostrare tale relazione.SoluzioneSe poniamo u t = 0 nell’equazione differenziale, e sostituiamo u con il suo limite ω,si ottiene formalmenteDa qui−Dω xx = −ω+1, 0 < x < L,Dω x (0) = 0,ω(L) = 0.ω(x) = 1− e √ x −√ D +e xD.√e LD−√ +e LDOra dimostriamo rigorosamente la relazione di limite: sia v = u−ω. Allora valev t −Dv xx = −v, 0 < x < L,t > 0,Dv x (0,t) = 0, t > 0,v(L,t) = 0, t > 0,v(x,0) = −ω(x), 0 < x < L.Con il cambiamento di variabili w = e t v, si perviene aw t −Dw xx = 0, 0 < x < L,t > 0,Dw x (0,t) = 0, t > 0,w(L,t) = 0, t > 0,w(x,0) = −ω(x), 0 < x < L.Usando per esempio la sottosoluzione e soprasoluzione−Ce − π216L 2t cos πxπ2≤ w(x,t) ≤ Ce−16L 4L 2 t cos πx4L ,102