Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del calorecon C 0 > 0 da scegliere. La z soddisfaz t −z xx = 0, 0 < x < 1,t > 0,z(0,t) = −C 0 e −t < v(0,t) = 0, t > 0,z(1,t) = −C 0 e −t cos1 < v(1,t) = 0, t > 0.Infinez(x,0) = −C 0 cosx ≤ −C 0 cos1 ≤ v(x,0) = 8 π arctgx−2x,se C 0 è scelta e.g.,C 0 = 2cos1 .Dunque per le scelte di C e C 0 effettuate sopra,−C 0 e −t cosx ≤ u(x,t)−2x ≤ Ce −t cosx, 0 < x < 1,t > 0,che dimostra la relazione di limite.R.a = 2, b = 0.7. [20/4/2006 (ex)II] La soluzione u diu t −u xx = 0, 0 < x < 2,t > 0,u(0,t) = 1, t > 0,u(2,t) = 0, t > 0,( π)u(x,0) = cos4 x , 0 < x < 2,soddisfa per due opportune costanti a, b ∈ Rlim u(x,t) = ax+b, 0 < x < 2.t→∞Determinare a e b, e dimostrare questa relazione di limite.R.a = − 1 2 , b = 1.8. [6/7/2006 (ex)I] Sia u la soluzione diu t −u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = (π −x) 2 , 0 < x < π.90