Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

480. Semplici problemi al contorno per l’equazione di Laplace1. [4/3/2003 (hw)I] Considerare la soluzione u diu xx +u yy = 0, 0 < x < π,0 < y < 1,u(0,y) = 0, 0 < y < 1,u(x,1) = 4, 0 < x < π,u(π,y) = 0, 0 < y < 1,u(x,0) = sinx, 0 < x < π.Determinare una stima inferiore per u(π/2,1/2).SoluzioneUna prima risposta viene subito dal principio di massimo forte: u(π/2,1/2) > 0.Per ottenere una stima migliore, usiamo la sottosoluzione v(x,y) = e y sinx, che dàin (π/2,1/2), u > v = √ e.2. [1/4/2003 (ex)I] Calcolare la soluzione del problema per l’equazione diLaplace nella corona circolareu xx +u yy = 0, 1 < x 2 +y 2 < 4,u(x,y) = 1, x 2 +y 2 = 1,u(x,y) = 3, x 2 +y 2 = 4.(Sugg. Considerare la particolare geometria del dominio e dei dati.)SoluzioneRicerchiamo la soluzione in forma radialeLa v deve quindi risolvereu(x,y) = v(r).1( )rvr = 0, 1 < r < 2,r rv(1) = 1,v(2) = 3,da cui segueR.v(r) = 2 lnr+1, 1 < r < 2.ln2u(x,y) = 1ln2 ln(x2 +y 2 )+1, 1 < x 2 +y 2 < 4.3. [23/9/2003 (ex)I] PostoA = {(x,y) | x 2 +y 2 > 1},124