Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheB) Risolviamo poi il problema di Cauchy per l’equazione differenziale sulle caratteristicheal suoloSi ottieneU(τ;s) = τ22dUdτ = τ +s,U(0) = s.+sτ +s, −∞ < τ < ∞.C) Torniamo alle coordinate cartesiane, risolvendo il sistemaae τ1−a+ae τ = x,s+τ = y.Si noti che il sistema è stato in effetti già risolto (si veda la (1)). Poiché il sistemaè risolubile per ogni x ∈ (0,1) e y ∈ R, l’aperto massimale di esistenza è la striscia(0,1)×R.R.u(x,y) = (y −1)ln x(1−a)a(1−x) +y − 1 [ln x(1−a) ] 2,2 a(1−x)(x,y) ∈ Ω = (0,1)×R.39. [28/3/2008 (ex)II] Si trovi la soluzione del problema di Cauchy−u x +y(1−y)u y = −x,u(s,a) = −s, −∞ < s < ∞,ove0