Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

300. Equazione delle ondeQuindi, ponendo s = −2ct < 0, τ = 2ct > 0,(f(s) = a − s )−g(0), s < 0,(2cτg(τ) = b −f(0), τ > 0.2c)Notiamo che in Q valgonox−ct < 0, x+ct > 0,e dunque si può scrivere( ct−x)u(x,t) = a +b2c( x+ctD’altronde, se u deve essere continua in Q, si deve avereper cui dalla (1) segue2ca(0) = b(0) = u(0,0),)−g(0)−f(0). (1)a(0) = b(0) = u(0,0) = a(0)+b(0)−g(0)−f(0).Infine le costanti f(0) e g(0) devono soddisfaref(0)+g(0) = a(0) = b(0).Si vede che nell’ipotesi a(0) = b(0), a, b ∈ C 2 ([0,∞)) la u così definita risulta esserein C 2 (Q).R.( ct−x) ( x+ct)u(x,t) = a +b −a(0),2c 2cse a, b ∈ C 2 ([0,∞)), con a(0) = b(0).2. [6/2/2004 (hw)I] Risolvereu tt −c 2 u xx = 0, −ct < x < ct, 0 < t,u t (−ct,t) = a(t), 0 < t,u(ct,t) = b(t), 0 < t.Dare condizioni su a e b perché la soluzione sia C 2 (Q), Q = {(x,t) | −ct