Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

430. Applicazioni del principio di max a prb per eq. di LaplaceoveQ ={(x,y) | x 2 +2y 2 > 1, x24 + y2 }9 < 1 .SoluzionePer il principio di massimo, il massimo di u su Q è assunto sulla frontiera ∂Q, cioèsu una delle due ellissiE 1 : x 2 +2y 2 = 1, E 2 :x 24 + y29 = 1.Su E 1 , u assume tutti e soli i valori in [cos1,1] (perché −1 ≤ x ≤ 1 su E 1 ). DunqueDato che u = siny ≤ 1 su E 2 , segue chemaxE 1u = 1.maxu = 1.QR.maxu = 1.Q5.[18/4/2007 (ex)I] Trovaretutti ipuntidimassimoassolutodellasoluzionedi{ π2∆u = 10, in Ω =16 < x2 +y 2 < π 2} ,u(x,y) = siny, x 2 +y 2 = π216 ,∂u∂ν (x,y) = 0, x2 +y 2 = π 2 .SoluzionePer il principio di massimo forte i punti di massimo sono assunti solo sulla frontiera(poiché il dominio è connesso e la u non è costante). Inoltre, per il Lemma di Hopf,non possono essere assunti sulla circonferenza esterna x 2 +y 2 = π 2 . Dunque sonoassunti solo su x 2 +y 2 = π 2 /16. Ma su questa curvau(x,y) = siny, − π 4 ≤ y ≤ π 4 ,e dunque(maxu = u 0, π )= √ 1 .Ω 4 2R. (0, π ) (, ove u 0, π )= √ 1 .4 4 2105