Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle onde13. [2/4/2007 (ex)I] Risolvere con il metodo di Fourier il problemau tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u x (0,t) = t, 0 < t,u x (π,t) = 1, 0 < t,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = cos2x, 0 < x < π.SoluzionePerridurcialcasodicondizionialbordoomogenee,introduciamolanuovaincognitache risolve il problemav(x,t) = u(x,t)+ t−12π x2 −tx,v tt −c 2 v xx = −c 2t−1 ,π0 < x < π,0 < t,v x (0,t) = 0, 0 < t,Cerchiamo la soluzione nella formav x (π,t) = 0, 0 < t,v(x,0) = − x22π , 0 < x < π,v t (x,0) = cos2x+ x2−x, 0 < x < π.2πv(x,t) = α 0 (t)+∞∑α n (t)cos(nx),ove i coefficienti α n saranno determinati dai problemi ai valori inizialie (per n ≥ 1)γ 00 = − 1 πγ 10 = − 1 πγ 2n = 2 π∫ π0∫ π0∫ π0c 2πn=1α ′′ n +n 2 c 2 α n = γ 0n (t−1),α n (0) = γ 1n ,α ′ n(0) = γ 2n ,dx = −c2π , γ 0n = − 2 πx 22π dx = −π 6 , γ 1n = − 2 πγ 20 = 1 π∫ π0∫ π0∫ π0c 2π{cos2x+ x22π −x }dx = − π 3 ,cos(nx)dx = 0,x 2 2(−1)n+1cos(nx)dx =2π πn 2 ,} {cos2x+ x22π −x cos(nx)dx = δ 2n + 2(−1)nπn 2 +2 1−(−1)nπn 2 .188