Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

600. Teoria di Fourier10. [18/4/2008 (ex)II] Determinare la somma della serie∞∑α n β n ,n=0ove i coefficienti α n e β n sono definiti daR.f(x) = x =g(x) = 3√ x =∞∑α n sin ( (2n+1)x ) ,n=0∞∑β n sin ( (2n+1)x ) ,n=08 π)43.7(2in L 2 ((0,π/2)),in L 2 ((0,π/2)).11. [15/6/2009 (ex)I] Calcolare la somma della serieove∞∑(−na n β n +nb n α n ),n=1∞∑f(x) = x 2 −π 2 = a 0 + a n cosnx+b n sinnx,g(x) = e x = α 0 +n=1∞∑α n cosnx+β n sinnx,n=1in L 2 ((−π,π)).SoluzioneÈ noto che, essendo f ∈ C 1 ([−π,π]) con f(π) = f(−π), alloraf ′ (x) = 2x =∞∑(−na n sinnx+nb n cosnx).n=1In effetti b n = 0 per ogni n ≥ 0 perché f ′ è dispari (o perché f è pari).Dunque, ricordando la definizione dei coefficienti di Fourier,∞∑∞∑(−na n β n +nb n α n ) = (f ′ ,ϕ i )(g,ϕ i )π −1 ,n=1i=1ove {ϕ i } ∞ i=1 indica il sistema ortonormale di Fourier.Per una conseguenza dell’identità di Parseval,∞∑(f ′ ,ϕ i )(g,ϕ i ) =i=1∫ π−πf ′ (x)g(x)dx =∫ π−π2xe x dx = 2e π (π −1)+2e −π (π +1).162