Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

470. Semplici problemi al contorno per l’equazione del caloreSoluzioneDefiniamo w = u−3. La tesi equivale allora aInoltrelim w(x,t) = 0.t→∞w t −w xx = 0, 0 < x < π ,0 < t < ∞,2w(0,t) = 0, 0 < t,( π)w2 ,t = 0, 0 < t,(w(x,0) = −x x− π )≥ 0, 0 < x < π 2 2 ,e quindi w ≥ 0 per il principio di massimo. Basta dunque dimostrare che w ≤ vconlim v(x,t) = 0, 0 < x < πt→∞ 2 . (1)Scegliamov(x,t) = Ce − x t4 cos2 ,con C > 0 da scegliere, cosicché (1) è senz’altro verificata. Valgonov t −v xx = 0, 0 < x < π ,0 < t,2v(0,t) = Ce −t ≥ w(0,t), 0 < t,( π)v2 ,t = √ C ( π)e −t ≥ w 2 2 ,t , 0 < t,v(x,0) = Ccos x 2 ≥ C √2≥ π216 ≥ w(x,0), 0 < x < π 2 ,se C ≥ √ 2π 2 /16. Quindi w ≤ v per il principio di massimo.6. [30/6/2003 (ex)I] Dimostrare che se u è la soluzione diu t −u xx = 0, 0 < x < π,0 < t < ∞,u(0,t) = e − t 2 , 0 < t < ∞,u(π,t) = e − t 2 , 0 < t < ∞,u(x,0) = 1+sinx, 0 < x < π,allora per ogni x ∈ (0,π) fissatolim u(x,t) = 0.t→∞SoluzioneÈ chiaro che u ≥ 0 per il principio di massimo. Cerchiamo una soprasoluzione nellaforma(v(x,t) = Ce − t x√2)2 sin +α ,115