Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

530. Formula di rappresentazione eq. di Laplace nel semipiano3. [30/6/2003 (ex)I] Sia u la soluzione limitata diu xx +u yy = 0, x ∈ R,y > 0,u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R,ove si assume che u 0 sia una funzione continua e limitata in R, con∫ ∞−∞|u 0 (x)|dx < ∞.Dimostrare che allora vale per ogni x ∈ R fissato:∫ ∞1u(x,y) 2 dy < ∞.4. [30/6/2003 (ex)II] Sia u la soluzione limitata diu xx +u yy = 0, x ∈ R,y > 0,u(x,0) = u 0 (x), x ∈ R,ove si assume che u 0 sia una funzione continua e limitata in R, con∫ ∞−∞|u 0 (x)|dx < ∞.Dimostrare che allora vale per ogni x ∈ R fissato:∫ ∞2u(x,y) 4 dy < ∞.5. [8/3/2004 (hw)I] Trovare la soluzione limitata di∆u = 0, 0 < x < 1, y > 0,u(0,y) = 0, y > 0,u x (1,y) = 0, y > 0,u(x,0) = x, 0 < x < 1.R. Si hau(x,y) = 1 π∫ ∞−∞yu 0 (ξ)(x−ξ) 2 +y 2 dξ,148