Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristicheB) Risolviamo poi il problema di Cauchy per l’equazione differenziale sulle caratteristicheal suolodUdτ = − 1τ + 1 sU(0) = 1.+2s,Si ottiene(U(τ;s) = 2sτ −ln τ + 1 )−lns+1, − 1 s s < τ < ∞.C) Torniamo alle coordinate cartesiane, risolvendo il sistema− 1τ + 1 s+2s = x,τ + 1 s = y.Si ricava subitos = 1 (x+ 1 ),2 yτ = y − 2x+ 1 .yLe condizioni da imporre sono τ +1/s > 0, e s > 0, ossiay > 0, x+ 1 y > 0.R.(u(x,y) = xy −lny −ln x+ 1 )+ln2,y(x,y) ∈ Ω = {(x,y) | y > 0,x+y −1 > 0}.45. [12/1/2009 (ex)II] Si trovi la soluzione del problema di Cauchyu x + 1 x 2u y = y,( 1)us ,s = 0, 0 < s < ∞.Determinare l’aperto massimale Ω di esistenza della soluzione u.R.(u(x,y) = xy −lnx−ln y + 1 )+ln2−1,x(x,y) ∈ Ω = {(x,y) | x > 0,y+x −1 > 0}.29