Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del caloreOccorre riflettere il dato iniziale in modo dispari intorno a x = 0, e poi in modopari intorno a x = 1. Si ottiene⎧−x 2 , −1 < x < 0,⎪⎨ x 2 , 0 < x < 1,ũ 0 (x) =(2−x) 2 , 1 < x < 2,⎪⎩−(2−x) 2 , 2 < x < 3.La ũ 0 va quindi estesa su R come funzione periodica con periodo 4.R. La soluzione èu(x,t) = 1 ∫ ∞2 √ ũ 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4t dξ,πt−∞ove ũ 0 è una funzione periodica con periodo 4 tale che⎧−x 2 , −1 < x < 0,⎪⎨ x 2 , 0 < x < 1,ũ 0 (x) =(2−x) 2 , 1 < x < 2,⎪⎩−(2−x) 2 , 2 < x < 3.20. [12/7/2007 (ex)I] Scrivere mediante la formula di rappresentazione disoluzioni del problema di Cauchy per l’equazione del calore la soluzione diu t −u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = e x , 0 < x < π.SoluzioneOccorre riflettere il dato iniziale in modo dispari intorno a x = π, e in modo pariintorno a x = 0. Si ottiene l’estensionee |x| , 0 < |x| < π; −e 2π−|x| , π < |x| < 2π.Il dato iniziale da sostituire nella formula di rappresentazione si ottiene poi estendendoquesta funzione in modo periodico su R, con periodo 4π.R. La soluzione èu(x,t) = 12 √ πt∫ ∞−∞u 0 (ξ)e −(x−ξ)2 4t dξ, 0 < x < π,t > 0,ove u 0 è periodica su R con periodo 4π, e{e |x| , 0 < |x| < π;u 0 (x) =−e 2π−|x| , π < |x| < 2π.141