Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

620. Fourier equazione del calore dim. 1ove per n ≥ 1mentreγ n = 4 π= 1 ππ∫20γ 0 = 4 πcosxsin(2n+1)xdx[ 1+(−1)nn+1π∫20]+ 1−(−1)n ,ncosxsinxdx = 2 π .Quindi, dalla formula risolutiva delle e.d.o. lineari del primo ordine si ha per ognin ≥ 0:α n (t) = γ n e [C−D(2n+1)2 ]t , 0 < t < ∞.Se D = C, vista la convergenza della serie per t ≥ 1, e poiché i coefficienti α n , pern ≥ 1, tendono a 0, con rapidità esponenziale, si ha infinelim u(x,t) = lim α 0(t)sinx = γ 0 sinx.t→∞ t→∞R. La soluzione è data daoveu(x,t) =γ n = 1 π∞∑γ n e [C−D(2n+1)2]t sin(2n+1)x,n=0[ 1+(−1)nn+1]+ 1−(−1)n , n ≥ 1,nγ 0 = 2 π , n = 0,Segue che, se D = C,lim u(x,t) = 2t→∞ π sinx.21. [12/1/2009 (ex)II] Trovare con il metodo di Fourier la soluzione diu t −Du xx = Cu, 0 < x < π ,t > 0,2u x (0,t) = 0, t > 0,( π)u2 ,t = 0, t > 0,u(x,0) = sinx, 0 < x < π 2 ,ove D e C sono costanti positive.212