Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del caloree v non può assumere minimi su x = L, t > 0.Perciò per il principio di minimo, il minimo di v è assunto su t = 0, ossia v ≥ 0.R.u 1 (x,t) ≥ u 2 (x,t), per ogni 0 < x < L, t > 0.12.[14/12/2007 (ex)I] TrovarelacondizionenecessariaesufficientesuL > 0perché la soluzione del problemasoddisfiSoluzioneConsideriamo la funzioneche soddisfau t −u xx = u, 0 < x < L,t > 0,u x (0,t) = 0, t > 0,u(L,t) = 0, t > 0,u(x,0) = L−x, 0 < x < L,lim u(x,t) = 0, 0 < x < L.t→∞v(x,t) = e −t u(x,t),v t −v xx = 0, 0 < x < L,t > 0,v x (0,t) = 0, t > 0,v(L,t) = 0, t > 0,v(x,0) = L−x, 0 < x < L.Per riflessione pari, la v può essere considerata come la restrizione a 0 < x < Ldella soluzione diLa w ha la rappresentazionew t −w xx = 0, −L < x < L,t > 0,w(−L,t) = 0, t > 0,w(L,t) = 0, t > 0,w(x,0) = L−|x|, −L < x < L.w(x,t) =ove le α n sono determinate daα ′ n + n2 π 24L 2 α n = 0,∞∑n=1α n (0) = γ n := 1 L(α n (t)sin∫ L−Lnπ x+L2L((L−|x|)sin),nπ x+L2L)dx.94