Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeQui gli f n sono i coefficienti di Fourier∞∑ ( nx)−2(x−π) = f 0 + f n cos , f n = 82 n 2 π (1−(−1)n ), f 0 = 0.Dunquen=1(a n (t) = 4f (n nct) )n 2 c 2 1−cos , a 0 (t) = 0.23. [16/4/2003 (ex)I] Calcolare con il metodo di Fourier la soluzione diu tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u(0,t) = 2, 0 < t,u(π,t) = cost, 0 < t,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = 0, 0 < x < π.Si assuma c 2 > 1.4. [16/4/2003 (ex)II] Calcolare con il metodo di Fourier la soluzione diu tt −c 2 u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u(0,t) = cosht, 0 < t,u(π,t) = 4, 0 < t,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = 0, 0 < x < π.5. [17/3/2004 (hw)I] Risolvereu tt −c 2 u xx = e x , 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = x, 0 < x < π,u t (x,0) = 1, 0 < x < π,e dire quale è la classe di regolarità della soluzione.6. [14/4/2004 (ex)I] Calcolare con il metodo di Fourier la soluzione diu tt −c 2 u xx = xt 2 , 0 < x < π,0 < t,u x (0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = 0, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π,u t (x,0) = sinx, 0 < x < π.177