Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

430. Applicazioni del principio di max a prb per eq. di Laplacecon a > 2.Si trovino condizioni su a che implichinoper ogni (x 1 ,y 1 ) ∈ Ω 1 , (x 2 ,y 2 ) ∈ Ω 2 .SoluzionePer il principio di massimo si ha cheu 1 (x 1 ,y 1 ) > u 2 (x 2 ,y 2 ),u 1 (x 1 ,y 1 ) ≥ min∂Ω 1u 1 = min(x,y)∈∂Ω 1arctg y x ,u 2 (x 2 ,y 2 ) ≥ max∂Ω 2u 2 = max(x,y)∈∂Ω 2arctg y x ,per ogni (x 1 ,y 1 ) ∈ Ω 1 , (x 2 ,y 2 ) ∈ Ω 2 . Dunque si otterrà la disuguaglianza volutase risulteràmin arctg y(x,y)∈∂Ω 1 x > max arctg y(x,y)∈∂Ω 2 x .D’altra parte, per il significato geometrico di arctgy/x, che nel primo quadrantecoincide con l’anomalia polare, si hamin(x,y)∈∂Ω 1arctg y x = arctg 1 2 ,max arctg y(x,y)∈∂Ω 2 x = arctg 2 a .Poiché l’arcotangente è una funzione crescente, si dovrà chiedere2a < 1 2 .R.a > 4.12. [12/1/2009 (ex)II] Si considerino le soluzioni dei due problemiove∆u 1 = 0, in Ω 1 , ∆u 2 = 0, in Ω 2 ,u 1 (x,y) = arctg y x , su ∂Ω 1, u 2 (x,y) = arctg y x , su ∂Ω 2,Ω 1 = (1,2)×(1,2),con a > 2.Si trovino condizioni su a che implichinoper ogni (x 1 ,y 1 ) ∈ Ω 1 , (x 2 ,y 2 ) ∈ Ω 2 .u 1 (x 1 ,y 1 ) < u 2 (x 2 ,y 2 ),Ω 2 = (1,2)×(a,a+1),109