Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

620. Fourier equazione del calore dim. 1620. Fourier equazione del calore dim. 11. [4/3/2003 (hw)I] Trovare la soluzione del problemau t −u xx = 0, 0 < x < L,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (L,t) = 0, t > 0,u(x,0) = χ (L/2,L) (x), 0 < x < L,con il metodo di Fourier.SoluzioneI) Riflettere in modo pari u intorno a x = L. Si passa a un problema con dati u = 0sui bordi laterali, posto per 0 < x < 2L, da risolvere per serie di soli seni.II) Usiamo il sistema ortonormale√2(L sin(2n+1) πx2Lossia cerchiamo la soluzione nella forma∞∑ (u(x,t) = α n (t)sinn=0), n = 0,1,2,... ,(2n+1) πx2LI coefficienti α n sono determinati dai problemi di Cauchy(α ′ n + (2n+1) π ) 2αn= 0,2LPerciòR.I) u(x,t) =II) u(x,t) =α n (t) =∞∑n=1∞∑n=0α n (0) = 2 L=∫ L0(χ (L/2,L) (x)sin).(2n+1) πx2L4((2n+1)π(2n+1) cos π ).44((2n+1)π(2n+1) cos π )e −[(2n+1) π2L ]2t .42[cosnπ( nπ)−cos4( 3nπ( )]e −n2 π 2 nπ)4L42 t sin2L x .4((2n+1)π(2n+1) cos π ) (e −[(2n+1) π2L ]2t sin4)dx(2n+1) πx2L).2. [19/3/2003 (hw)I] Risolvere con il metodo di Fourier il problemau t −u xx = 0, 0 < x < π,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u(π,t) = cost, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < π.200