Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del calore2. [17/2/2003 (hw)I] Trovare la soluzione del problemau t −u xx = 0, 0 < x < ∞,u(x,0) = cosx, 0 ≤ x,u(0,t) = 0, 0 < t,come restrizione a x ≥ 0 di un opportuna soluzione al problema di Cauchysu R.R.u(x,t) =∫ ∞−∞sign(ξ)cos(ξ)Γ(x−ξ,t)dξ.(sign(ξ) = 1 se ξ > 0, sign(ξ) = −1 se ξ < 0) Infatti si verifica direttamente chequesta soluzione è dispari.3. [17/2/2003 (hw)I] Dimostrare che la soluzione u del problema di Cauchycorrispondente al dato iniziale u 0 (x) = χ [−1,1] (x), x ∈ R soddisfau(x,t) ≥ 1e √ , −1 ≤ x ≤ 1,1 ≤ t.πtSoluzioneSi utilizzalarappresentazionedellaumediantelasoluzionefondamentale, stimandodal basso l’esponenziale che appare nell’integrale usando le −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ t.Iniziamo cioè con lo scrivereu(x,t) = 1 ∫2 √ πtRχ [−1,1] (ξ)e − (x−ξ)24t dξ = 12 √ πt∫ 1−1e −(x−ξ)2 4tdξ.Dato che −1 ≤ x ≤ 1, nell’ultimo integrale si ha|x−ξ| ≤ 2,e quindi, se t ≥ 1,Quindiu(x,t) ≥ 12 √ πte −(x−ξ)2 4t ≥ e −1 .∫ 1−1e −1 dξ = 1e √ πt .4. [1/4/2003 (ex)I] Dimostrare che se u è la soluzione diu t −u xx = 0, −∞ < x < ∞,0 < t < ∞,u(x,0) = u 0 (x), −∞ < x < ∞,134