Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali
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430. Applicazioni del principio <strong>di</strong> max a prb per eq. <strong>di</strong> Laplace6.[18/4/2007 (ex)II] Trovaretutti ipunti<strong>di</strong>minimoassolutodellasoluzion<strong>ed</strong>i∆u = −1, in Ω = {1 < x 2 +y 2 < 4},u(x,y) = cos πy8 , x2 +y 2 = 4,∂u∂ν (x,y) = 0, x2 +y 2 = 1.R.(0,−2),(0,2) ove u(0,±2) = 1 √2.7. [12/7/2007 (ex)I] Dimostrare che la soluzione del problema∆u = 0, 0 < x < 2,0 < y < 1,u(0,y) = 0, 0 < y < 1,u(2,y) = 2y, 0 < y < 1,u(x,1) = x22 , 0 < x < 2,u y (x,0) = 0, 0 < x < 2,sod<strong>di</strong>sfau(1,y) < 1, 0 < y < 1.SoluzioneConsideriamo la soprasoluzionew(x,y) = x.La v = w−u sod<strong>di</strong>sfa∆v = 0, 0 < x < 2,0 < y < 1,v(0,y) = 0, 0 < y < 1,v(2,y) > 0, 0 < y < 1,v(x,1) > 0, 0 < x < 2,v y (x,0) = 0, 0 < x < 2.Dunque, per il principio del massimo forte e per il lemma <strong>di</strong> Hopf la v ha minimo(non essendo costante) solo sulla frontiera x = 0, e perciòv(x,y) > 0, 0 < x < 2,0 < y < 1.Ne segue cheu(1,y) < w(1,y) = 1, 0 < y < 1.106