Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

520. Formula di rappresentazione eq. del caloreAllora w soddisfa∆w = 0, in Ω,w(x,0) = 1, 0 < x < 1,w(x,1) = 1, 0 < x < 1,w(0,y) = −1, 0 < y < 1,w(1,y) = −1, 0 < y < 1.Dobbiamo dimostrare che( 1w2 2), 1 = 0.Definiamow 1 (x,y) = w(y,x), w 2 (x,y) = −w(x,y), (x,y) ∈ Ω.Sia w 1 che w 2 risolvono il problemaPerciò per l’unicità w 1 ≡ w 2 e∆z = 0, in Ω,z(x,0) = −1, 0 < x < 1,z(x,1) = −1, 0 < x < 1,z(0,y) = 1, 0 < y < 1,z(1,y) = 1, 0 < y < 1.( 1w2 , 1 ( 1= w 12)2 , 1 ) ( 1= w 22 2 , 1 ) ( 1= −w2 2 2), 1 .520. Formula di rappresentazione eq. del calore1. [17/2/2003 (hw)I] Trovare la soluzione del problemau t −u xx = 0, 0 < x < ∞,u(x,0) = arctgx, 0 ≤ x,u x (0,t) = 0, 0 < t,come restrizione a x ≥ 0 di un opportuna soluzione al problema di Cauchysu R.R.u(x,t) =∫ ∞−∞arctg|ξ|Γ(x−ξ,t)dξ.Infatti si verifica direttamente che questa soluzione è pari.133