Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeCerchiamone lo sviluppo in serie∞∑u(x,t) = α n (t)cosω n x,n=0i cui coefficienti devono soddisfareω n = (2n+1) π2L ,α ′′ n +c2 ω 2 n α n = γ 0n e t ,α n (0) = 0,α ′ n (0) = γ 1n.QuiPerciòγ 0n = 2 Lγ 1n = 2 L∫ L0∫ L0e x cosω n xdx = 12πn(−1)n e L −8L4L 2 +(2n+1) 2 π 2 ,cosxcosω n xdx = 2cos(L+πn)2L+2nπ+π − 2cos(L−πn)2L−2nπ−π .α n (t) = k 1n cos(cω n t)+k 2n sin(cω n t)+w n (t),ove la soluzione particolare w n si ricerca nella formaw n (t) = A n e t ,ottenendo per sostituzioneγ 0nA n =1+c 2 ωn2 .Quindi le k in sono determinate dalle condizioni iniziali mediante leR.u(x,t) =∞∑n=0α n (0) = k 1n + γ 0n1+c 2 ωn2 = 0,α ′ n (0) = cω nk 2n + γ 0n1+c 2 ωn2 = γ 1n .[− γ (0n1+c 2 ωn2 cos(cω n t)+ γ 1n − γ )0n 11+c 2 ωn2 sin(cω n t)cω nove per n ≥ 1, ω n = (2n+1)π/(2L), eγ 0n = 12πn(−1)n e L −8L4L 2 +(2n+1) 2 π 2 ,γ 1n = 2cos(L+πn)2L+2nπ+π − 2cos(L−πn)2L−2nπ−π .+ γ 0n1+c 2 ωn2 e t] cosω n x,199