Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

600. Teoria di Fourierove i numeri reali α n sono determinati dall’uguaglianza∣f(x) = ∣2x− π ∞∑∣ = α 0 + α n cos(nx),4n=1in L 2 ((0,π)).R.∞∑n=0α 2 n = 36293072 π2 .6. [15/12/2006 (ex)I] Calcolare la somma della serieove∞∑α n β n ,n=1∞∑f(x) = x 2 = α n sin(nx), 0 < x < π,g(x) = x 20 =n=1∞∑β n sin(nx), 0 < x < π.n=1SoluzioneSi sa che, postoϕ n (x) =√2π sin(nx),il sistema {ϕ n } ∞ n=1 è ortonormale e completo. Valgono leα n =√2π (f,ϕ n), β n =√2π (g,ϕ n).Per le proprietà di {ϕ n } ∞ n=1 (e per le identità di Parseval), vale∞∑α n β n = 2 πn=1∞∑(f,ϕ n )(g,ϕ n ) = 2 π (f,g) = 2 πn=1∫ π0x 22 dx = 2 π2223 .R.2 π22237. [2/4/2007 (ex)I] Calcolare la somma della serie∞∑α 2 n ,n=0159