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Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

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620. Fourier equazione del calore <strong>di</strong>m. 114. [6/7/2006 (ex)I] Risolvere con il metodo <strong>di</strong> Fourieru t −u xx = 0, 0 < x < π,0 < t,u(0,t) = t 2 , 0 < t,u(π,t) = 2, 0 < t,u(x,0) = sinx, 0 < x < π.SoluzioneRiconduciamoci a un problema con dati <strong>di</strong> Dirichlet nulli al contorno, m<strong>ed</strong>iante latrasformazionev(x,t) = u(x,t)−t 2 − x π (2−t2 ).La v sod<strong>di</strong>sfa( x)v t −v xx = 2tπ −1 , 0 < x < π,0 < t,v(0,t) = 0, 0 < t,v(π,t) = 0, 0 < t,v(x,0) = sinx− 2x π , 0 < x < π.Usiamo il sistema ortonormale in (0,π)sviluppando la soluzione come√2ψ n (x) = sin(nx), n ≥ 1,πv(x,t) =∞∑α n (t)sin(nx).n=1Si ottengono quin<strong>di</strong> i problemi <strong>di</strong> Cauchy per i coefficienti α n :α ′ n +n2 α n = γ 0n t := t 2 πα n (0) = γ 1n := 2 π∫ π0∫ πove con calcoli elementari si ottiene0( x)2π −1 sin(nx)dx, 0 < t,(sinx− 2x )sin(nx)dx,πγ 0n = − 4πn , γ 1n = δ 1n + 4(−1)n .πnL’integrale generale della e.d.o. sarà dunqueα n (t) = k n e −n2t +w n (t),204

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