Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

420. Applicazioni del principio di max a prb per eq. del calore18. [14/7/2008 (ex)II] Dimostrare che la soluzione del problemau t −Du xx = at, 0 < x < L,t > 0,u(0,t) = b, t > 0,u(L,t) = b, t > 0,u(x,0) = 0, 0 < x < L,soddisfa0 ≤ u(x,1) ≤ a +b, 0 < x < L.2Qui a, b, L sono costanti positive.19. [12/2/2009 (ex)I] Si consideri la soluzione del problemau t −Du xx = 0, 0 < x < L,t > 0,u(0,t) = 0, t > 0,u x (L,t) = 0, t > 0,u(x,0) = cx, 0 < x < L.Qui D, L, c sono costanti positive.Determinare un istante ¯t in funzione di D, L, c, in cuiu(L,¯t) ≤ 1 2 u(L,0) = 1 2 cL.SoluzioneConsideriamo la soprasoluzione(v(x,t) = Ce − π2 πx)4L 2 Dt sin ,2Lche risolvev t −Dv xx = 0, 0 < x < L,t > 0,v(0,t) = 0, t > 0,v x (L,t) = 0, t > 0,( πx)u(x,0) = Csin , 0 < x < L.2LPer dimostrare quindi che v ≥ u basterà, per il principio del massimo e il lemma diHopf, determinare C in modo che( πx)Csin ≥ cx.2LPerchév(x,0) èconcava, e v(0,0) = u(0,0) = 0, èsufficiente a questo scopoimporrev(L,0) = Csin π 2= C ≥ u(L,0) = cL,e quindi scegliere C = cL.99