Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

610. Fourier equazione delle ondeCerchiamo v nella forma∞∑v(x,t) = α n (t)sin(nx).n=1Il coefficiente α n , n ≥ 1, è soluzione del problemaove denotiamo per n ≥ 1α ′′ n +c2 n 2 α n = γ 0n ω 2 sinωt, 0 < t < ∞, (1)γ 0n = 2 πα n (0) = 0, (2)α ′ n (0) = 0, (3)∫ πL’integrale generale della (1) ha la forma0sin(nx)dx = 2 1+(−1) n+1.π nα n (t) = k 1n cos(cnt)+k 2n sin(cnt)+w n (t).La ricerca della soluzione particolare ci conduce a distinguere i due casi seguenti.A) ω ≠ cn: Una soluzione particolare di (1) si trova nella formaw n (t) = C 1n sin(ωt).Sostituendo nella (1) si determina la costanteC 1n = ω2 γ 0nc 2 n 2 −ω 2 .Dunque pern ≥ 1, n ≠ ωc −1 lasoluzionedi (1)–(2)sitrovaimponendolecondizioniiniziali:α n (0) = k 1n = 0,α ′ n(0) = cnk 2n +C 1n ω = 0.B) ω = cn 0 (possibile al più per un solo n 0 ): Una soluzione particolare di (1) sitrova nella formaw n0 (t) = C 1n0 tsin(ωt)+C 2n0 tcos(ωt).Sostituendo nella (1) si determinano le costantiC 1n0 = 0, C 2n0 = − ωγ 0n 02Dunque per n = n 0 = ωc −1 la soluzione di (1)–(2) si trova imponendo le condizioniiniziali:α n0 (0) = k 1n0 = 0,α ′ n 0(0) = cn 0 k 2n0 +C 2n0 = 0..192