Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

210. Edp del I ordine: metodo delle caratteristichedefinita inΩ ={(x,y) | √ 3 > x > 0,y >√ }3−x2x 2 +1(∪ [ √ )3,∞)×(0,∞) .48. [13/7/2009 (ex)II] Trovare la soluzione diu xx + u yy = −1 u ,(u s, 2 )= 1, s > 0.sR.definita inΩ =u(x,y) = 1 √2√2−x 2 −y 2 + √ (y 2 −x 2 ) 2 +16,{( )(0,1]×(0,∞) ∪ (x,y) | x > 1,y 0,determinando anche l’aperto massimale di definizione.SoluzioneA) Troviamo le caratteristiche al suolo, risolvendo il sistema caratteristicoSi ottieneϕ ′ 1 = 2ϕ 1, ϕ 1 (0) = 1,ϕ ′ 2 = ϕ 2 , ϕ 2 (0) = s.(ϕ 1 (τ;s),ϕ 2 (τ,s)) = (e 2τ ,se τ ), τ ∈ R.B) Si risolve quindi la e.d.o. sulle caratteristiche al suoloottenendo per separazione delle variabiliU ′ = 1 U ,U(0) = s,U(τ;s) = √ s 2 +2τ ,τ > − s22 .C) Infine si torna alle variabili (x,y) invertendo il sistemae 2τ = x, se τ = y,32