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Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

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960. Trasformata <strong>di</strong> Laplace e risoluzione <strong>di</strong> EDOeg(x) ={1−|x|, −1 ≤ x ≤ 1,0, x ∉ [−1,1],Decidere quale delle due trasformate <strong>di</strong> Fourier F[f] e F[g] tende a zero piùrapidamente quando ω → ∞, e calcolare tale trasformata.SoluzioneLa g è C 1 a tratti, e quin<strong>di</strong> più regolare della f, che non è neppure continua. Nesegue che la trasformata richiesta è quella della g.Calcoliamo poi:∫ ∞F[g](ω) = e iωx g(x)dx−∞∫ 1= (cosωx+isinωx)(1−|x|)dx−1∫ 1= 2 cosωx(1−x)dx0(per parità)= 2 ω 2(1−cosω).R.F[g](ω) = 2 ω2(1−cosω), ω ≠ 0, F[g](0) = 1.960. Trasformata <strong>di</strong> Laplace e risoluzione <strong>di</strong> EDO1. [11/3/2007 (hw)I] Risolvere m<strong>ed</strong>iante la trasformata <strong>di</strong> Laplace il problema<strong>di</strong> Cauchyy ′ +ay = b, x > 0,y(0) = u 0 .Qui a ≠ 0, b, u 0 sono costanti reali.SoluzioneApplicando la trasformazione <strong>di</strong> Laplace all’equazione <strong>di</strong>fferenziale, e denotandoY = L[y], si haDunquesY −u 0 +aY = b s .( b) 1Y(s) =s +u 0a+s = L[b](s)L[e−ax ](s)+L[u 0 e −ax ](s).236

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