Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

470. Semplici problemi al contorno per l’equazione del caloreUsiamo una soprasoluzioneper mostrare che v (e quindi u) decade esponenzialmente.Siaw(x,t) = Ce −t cosx, − π 2 < x < π ,t > 0,2con C > 0 da scegliere. È chiaro che w è una soluzione dell’equazione del calorecon w = 0 se x = ±π/2. Quindi è una soprasoluzione del problema per v se per|x| ≤ π/2w(x,0) = Ccosx ≥ π24 −x2 = v(x,0).Poiché w = v = 0 in (−π/2,0), e le due funzioni sono pari, basterà per esempioverificare che in −π/2 < x < 0 valgaCioè basterà definirew x (x,0) = −Csinx = C|sinx| ≥ −2x = 2|x| = v x (x,0).∣ ∣∣ xC = 2 sup ∣ ,[− π 2 ,0) sinxin vista del fatto che tale sup è finito, come noto. Dunque0 ≤ limt→∞t α u(x,t) ≤ limt→∞t α Ce −t cosx = 0.10. [31/3/2004 (ex)I] Dimostrare che la soluzione diu t −u xx = 0, 0 < x < 1,0 < t,u x (0,t) = 0, t > 0,u(1,t) = π, t > 0,u(x,0) = πx, 0 < x < 1,soddisfalim sup |u(x,t)−π| = 0.t→∞ 0 0,u(x,0) = x 2 +5, 0 < x < 1,soddisfalim sup |u(x,t)−5| = 0.t→∞ 0