Problemi d'esame ed esercizi di Equazioni alle Derivate Parziali

605. Calcolo di serie di Fouriernel sistema ortonormale completo in L 2 ((0,π))C ={ 1 √π ,2√ πcosx,2}√ cos2x,... . πSoluzioneScriviamoe calcoliamo:Poi, per n ≥ 1:α 0 = 1 π∞∑f(x) = α 0 + α n cosnx,∫ π0n=1(sin2x+cos5x)dx = 0.α n = 2 π∫ π0= δ 5n + 1 π= δ 5n + 1 π= δ 5n + 4 πcos5xcosnxdx+ 2 π∫ π0∫ π0sin2xcosnxdx[sin(2+n)x+sin(2−n)x]dx[− 12+n cos(2+n)x− 1 ] π2−n cos(2−n)x 0(−1) n −1n 2 .−4Si è dovuto assumere che n ≠ 2. In questo caso invece:α 2 = 2 π∫ π0[cos5xcos2x+sin2xcos2x]dx =1π∫ π0sin4xdx = 0.R.f(x) = cos5x+ 8∞ 3π cosx+ ∑ 4 (−1) n −1π n 2 cosnx.−4n=317. [14/12/2007 (ex)I] Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier (di seni ecoseni) di ⎧x+π, −π < x < − π ⎪⎨2 ,f(x) = x, − π 2 < x < π 2 ,⎪⎩πx−π,2 < x < π.SoluzioneLa f è dispari, dunque∞∑f(x) = α n sinnx.n=1169