Document de cours de référence

7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement 95
L’utilité du référentiel du centre de masse est que la quantité de mouvement totale M tot. V cm du
système y est nulle, car dans ce référentiel la vitesse du centre de masse est nulle par définition.
L’équation de conservation de la quantité de mouvement est alors plus simple :
m 1 u 1 + m 2 u 2 = 0 = m 1 u ′ 1 + m 2 u′ 2 (7.9)
On en déduit que u 2 = −(m 1 /m 2 )u 1 et u ′ 2 = −(m 1 /m 2 )u′ 1 . Si on insère ces relations dans la loi de
conservation de l’énergie, on trouve
1
2 m 1 u2 1 + 1 2 m 2 u2 2 = 1 2 m 1
(
1 + m )
1
u 2 1
m = 1 2 m 1 u′ 1 2 + 1 2 m 2 u′ 2 2 = 1 2 m 1
2
(
1 + m )
1
u ′ 1 2 (7.10)
m 2
On en déduit que |u 1 | = |u ′ 1 | et donc que |u 2 | = |u′ 2 |. C’est un résultat important : dans le référentiel
du centre de masse, les grandeurs des vitesses des particules ne changent pas lors de la collision.
En une dimension, deux cas se présentent : soit u ′ 1 = u 1 , ou u ′ 1 = −u 1 . Dans le premier cas, il n’y
a tout simplement pas de collision et devons donc considérer le deuxième cas seulement. On peut
ensuite retourner au référentiel du laboratoire :
v ′ 1 = u ′ 1 + V = −u 1 + V = −v 1 + 2V
v ′ 2 = u ′ 2 + V = −u 2 + V = −v 2 + 2V
(7.11)
En substituant les valeurs connues, on trouve
la même solution trouvée plus haut.
v ′ 1 = −v 1 + 2 m 1 v 1
m 1 + m 2
= m 1 − m 2
m 1 + m 2
v 1 et v ′ 2 = 2m 1
m 1 + m 2
v 1 , (7.12)
Remarquons maintenant quelques caractéristiques de cette solution.
1. Si m 2 ≫ m 1 , alors v 1 ′ ≈ −v 1 et v′ 2 ≈ 0. La première particule rebondit sur la deuxième comme
sur un mur.
2. Si, au contraire, m 2 ≪ m 1 , alors v 1 ′ ≈ v 1 et v′ 2 ≈ 2v 1 . La deuxième particule est comme projetée
par la première, comme si un mur en mouvement l’avait frappée.
3. Si m 1 = m 2 , alors v 1 ′ = 0 et v 2 ′ = v 1 : il y a eut simple substitution des objets. Une telle
substitution conserve évidemment la quantité de mouvement et l’énergie, si les masses sont
égales.
Collision en deux dimensions : angle de diffusion
Nous allons maintenant généraliser les calculs précédents au cas d’une collision en deux dimensions.
Le deuxième objet est encore au repos avant la collision, mais les deux objets sont déviés hors de
l’axe des x après la collision, comme sur la Fig. 7.2. L’angle que fait la vitesse du premier objet par
rapport à la direction initiale de son mouvement est appelé angle de diffusion 1 . Cet angle dépend
de la forme précise de la force qui agit entre les deux objets, ainsi que de la distance entre la cible
et l’axe de la vitesse du projectile; cette distance, notée b, est appelée paramètre d’impact. Notons
que le problème n’est pas différent en trois dimensions : les vitesses des objets après la collision
déterminent un plan, et ce plan contient aussi la vitesse du projectile avant la collision, car il
1 Le processus de collision porte aussi le nom de diffusion en physique microscopique, en raison de la dualité
onde-corpuscule : la collision avec une cible au repos est en effet l’analogue de la diffusion d’une onde sur un
obstacle.