Document de cours de référence

58 5. Applications des lois du mouvement
5.4 Mouvement dans un champ magnétique uniforme
Considérons une particule de charge q dans un champ magnétique B. D’après l’éq. (3.28), l’équation
du mouvement est simplement
m ˙v = qv ∧ B (5.41)
Comme l’accélération est perpendiculaire à la vitesse v, la grandeur de cette dernière est constante :
d
dt v2 = 2v · ˙v = 0 (5.42)
Il s’agit d’une propriété générale du mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
(sans champ électrique ou autre force).
Supposons maintenant que le champ magnétique est uniforme : B =
Bẑ. On peut vérifier facilement que le mouvement circulaire uniforme
est une solution de l’équation du mouvement. En effet, la force dans ce
cas doit toujours être dirigée vers le centre, perpendiculaire à la vitesse
en tout temps (tout comme la force magnétique) et aussi perpendiculaire
B
au champ magnétique, si le cercle est contenu dans le plan xy.
Si le champ sort de la page, alors la vitesse doit être dans la direction
indiquée ci-contre si la charge est positive, de sorte que F = qv ∧ B.
La grandeur de la force centripète est alors F = mω 2 R = qvB, où R
est le rayon du cercle. Comme v = ωR, on trouve mω 2 R = qωRB,
F mag
v
ou encore ω = qB/m. La fréquence du mouvement circulaire est donc indépendante du rayon du
cercle ou de la vitesse. Pour une raison historique, on l’appelle la fréquence cyclotron et on la note
ω c :
ω c ≡ qB m
(5.43)
Ayant démontré que le mouvement circulaire uniforme est une solution à l’équation du mouvement,
nous n’avons pas démontré qu’il s’agit de la solution générale. Pour ce faire, écrivons les
composantes de l’équation du mouvement :
˙v x = ω c v y
˙v y = −ω c v x
˙v z = 0
(5.44)
où ω c pour le moment n’est qu’un symbole correspondant à qB/m, sans l’interprétation d’une
fréquence. De la dernière des équations (5.44) on déduit que la composante en z de la vitesse est
constante. Pour résoudre les deux premières équations, on dérive la première par rapport au temps
et on y substitue la deuxième :
¨v x = ω c ˙v y = −ω 2 c v x (5.45)
La solution à cette équation différentielle nous est connue :
v x (t) = A cos(ω c t + φ) (5.46)
où A et φ sont des constantes fixées par les conditions initiales. (notons qu’on peut adopter le
cosinus comme le sinus dans la solution générale de l’équation différentielle). Une fois v x connu, v y
se calcule par la première des équations (5.44):
v y (t) = −A sin(ω c t + φ) (5.47)