Document de cours de référence

128 8. Mouvement dans un champ de force central
e) Supposez maintenant que le pendule soit libre d’osciller dans toutes les directions et non seulement dans
le plan xy. Y a-t-il une composante du moment cinétique qui soit conservée?
Problème 8.7
Une particule est en orbite dans un champ de force central dont l’intensité varie en loi de puissance en fonction
de la distance : F = a/r n (a est une constante). Le cas habituel est celui de la gravité (n = 2), mais nous
allons considérer ici une valeur réelle quelconque de n (n > 1).
a) Écrivez le potentiel effectif U eff. associé à cette loi de force, en plaçant le zéro d’énergie potentielle à l’infini.
b) Selon vous, pour quelles valeurs de n des orbites stables sont elles possibles?
Problème 8.8
Avant de relâcher le module lunaire, la capsule Apollo 11 a été placée en orbite elliptique autour de la Lune.
La masse de la capsule était de 9 979 kg, la période de l’orbite était de 119 minutes et les distances maximale
et minimale au centre de la Lune étaient 1 861 km et 1 838 km. D’après ces données, quelle est la masse de
la Lune?
Problème 8.9
La comète de Halley est en orbite elliptique autour du Soleil. L’excentricité de son orbite est e = 0, 967 et sa
période est de 76 ans. La masse du Soleil est 1,99×10 30 kg. N’utilisez aucune autre donnée que celles-ci.
a) Calculez la distance de la comète au Soleil à son périhélie et à son aphélie. Exprimez les distances en km
et en multiples de la distance Terre-Soleil (1, 49 × 10 11 m).
b) Quelle est la vitesse de la comète à son périhélie (en m/s et en km/h)?
c) En vous servant des équations (8.69–8.70), estimez combien de temps la comète de Halley passe en-deça de
l’orbite terrestre, c’est-à-dire le temps où sa distance au Soleil est inférieure à la distance moyenne terre-Soleil.
Exprimez votre réponse en jours, en mois ou en fraction d’année, pas en secondes!
Problème 8.10
La Lune décrit une orbite quasi-circulaire autour de la Terre, de rayon R = 3, 844 × 10 5 km. La masse de la
Terre est M = 5, 974 × 10 24 kg. Si, par une intervention divine, la Lune s’arrêtait net sur son orbite, combien
de temps mettrait-elle à tomber sur la Terre? Aucun calcul compliqué n’est nécessaire, mais la troisième loi
de Kepler T = 2πa 3/2 / √ GM peut être utilisée directement car, même dans cette situation, la lune décrit une
orbite elliptique. Ne tenez pas compte des rayons de la Terre ou de la Lune et expliquez bien votre démarche.
Problème 8.11
Une planète est en orbite elliptique autour du Soleil. Donnez une expression de l’angle θ entre le rayon vecteur
r de la planète et sa vitesse v, en fonction de l’angle orbital ϕ et des paramètres orbitaux.