Document de cours de référence

56 5. Applications des lois du mouvement
y
x = R (ξ − sin ξ)
y = R (1 + cos ξ)
x
2R
x = R (ξ + sin ξ)
y = − R (1 + cos ξ)
Figure 5.4. Schéma du pendule isochrone d’Huygens. Les languettes de métal sont des portions de
cycloïde et la trajectoire de la masse du pendule au cours de son oscillation est aussi une cycloïde. Les
équations paramétriques des deux cycloïdes sont indiquées.
de la période en fonction de l’amplitude et conspire à produire une période indépendante de l’amplitude, à
condition que la forme de la languette de métal soit judicieusement choisie. Huygens a démontré que la forme
de la languette doit être une cycloïde. D’autre part, la trajectoire décrite par la masse du pendule est aussi
une cycloïde, ce qui n’est pas évident à prime abord. En géométrie analytique, on dirait que la cycloïde est
sa propre courbe développante. Quoique très ingénieux, le pendule isochrone de Huygens ne fonctionna pas
aussi bien en pratique qu’en théorie, car l’échappement du pendule, le mécanisme qui relie le pendule au reste
de l’horlogerie, apporte des perturbations importantes. Il est plus pratique de s’assurer que l’amplitude de
l’oscillation reste constante (en fournissant de l’énergie au pendule via la chute lente d’un poids ou la détente
d’un ressort) et de calibrer la période par un moyen quelconque.
Fait intéressant, la cylcoïde décrite par la position du pendule isochrone en
D
fonction du temps possède une autre propriété. Supposons qu’on construise
une surface ayant cette forme (courbe B ci-contre) et qu’on y laisse rouler
A
une bille à partir d’une certaine hauteur. Le caractère isochrone du pendule
B
d’Huygens signifie que le temps que mettra la bille à atteindre le bas de la
C
courbe sera le même, peu importe la hauteur d’où elle est relâchée sur la
O
courbe. En plus de cela, on peut démontrer que la cycloïde est la courbe qui
minimise le temps que prend la bille pour atteindre le bas (point O ci-contre),
si on la relâche du point D. Pour cette raison, on appelle aussi cette courbe la
brachistochrone (du grec brachys [court] et chronos [temps]). Remarquons à cet effet que même si la droite A
minimise la distance entre les points D et O, elle ne minimise pas le temps, car la bille n’est pas suffisamment
accélérée initialement. Par contre, la courbe C donne à la bille une accélération considérable initialement, mais
sa longueur est excessive. La cycloïde B est la courbe qui minimise le temps, mais démontrer cette assertion
requiert les outils du “calcul des variations”, que nous n’aborderons pas ici.
5.3 Particule dans un champ électrique
L’équation du mouvement d’une particule de masse m et de charge électrique q placée dans un
champ électrique uniforme E est
F = qE = m¨r (5.37)