Document de cours de référence

172 10. Référentiels accélérés
La solution de cette équation nous est bien connue :
ω 1 (t) = A cos(Ωt + φ) Ω = γω 3 (10.59)
où A et φ sont des constantes déterminées par les conditions initiales. De même, ω 2 oscille avec la
même fréquence et s’obtient directement de la première des équations (10.57) :
ω 2 (t) = −A sin(Ωt + φ) (10.60)
Désignons par ê 1 , ê 2 et ê 3 les trois vecteurs unité dirigés le long des axes principaux. Le vecteur
ω ⊥ = ω 1 ê 1 + ω 2 ê 2 tourne donc dans le temps dans ce référentiel, à une fréquence Ω = γω 3 . Ce
mouvement de rotation est appelé nutation. Bien sûr, le moment cinétique J s’exprime comme
(nous avons choisi φ = 0).
J = I 1 ω 1 ê 1 + I 2 ω 2 ê 2 + I 3 ω 3 ê 3
= I ′ A(cos(Ωt)ê 1 − sin(Ωt)ê 2 ) + I 3 ω 3 ê 3
(10.61)
Évidemment, le vecteur J est constant par rapport à des axes fixes dans l’espace, mais il dépend
du temps lorsqu’exprimé en fonction de la base (ê 1 , ê 2 , ê 3 ).
La fréquence de nutation Ω est directement proportionnelle à la composante ω 3 de la vitesse angulaire (la
fréquence de rotation par rapport à l’axe de symétrie, en quelque sorte). Il est tentant d’appliquer ce calcul
à la rotation de la Terre. La Terre étant légèrement aplatie mais symétrique par rapport à son axe, on a
I 1 = I 2 < I 3 . On évalue le rapport γ à
γ = I − I′
I ′ ≈ 0, 00327 (10.62)
En théorie, la période de nutation de la Terre devrait être de 306 jours. Cependant, la réalité est plus compliquée,
car la Terre n’est pas un objet parfaitement rigide! Un mouvement de nutation de faible amplitude
(environ 15 m d’amplitude au pôle nord) est observé, mais il n’est pas régulier, c’est-à-dire qu’il est la superposition
de différents mouvement de fréquences différentes. Il comporte une composante annuelle attribuée
aux saisons (reliée au mouvement des masses d’air, etc.) et une autre composante importante d’une période
de 420 jours, qui correspond plus à la nutation prédite. Cette période plus longue que prévue (420 jours au
lieu de 306) peut être attribuée à l’élasticité interne de la Terre.
10.8 * La toupie symétrique : angles d’Euler
Dans cette section nous allons étudier plus en détail le mouvement de précession et de nutation
d’une toupie ou d’un gyroscope dont un point est fixe. Nous ne supposerons pas nécessairement
que la toupie est rapide ou que la précession est uniforme, contrairement à ce qui a été fait à la
section 9.8. Pour ce faire, il est toutefois utile d’utiliser des axes fixes à l’objet, donc un référentiel
tournant.
Angles d’Euler
Commençons par introduire les angles d’Euler, qui permettent de spécifier de manière simple la
configuration de rotation d’un objet rigide. Considérons la figure 10.5. Les trois angles d’Euler
θ, φ, ψ y sont définis et spécifient à un instant donné la configuration (ou l’orientation) de la toupie
de manière unique (il y a cependant ambiguité lorsque θ = 0 exactement). Lors du mouvement
de rotation de l’objet, chacun de ces angles varie, et la vitesse angulaire instantanée de la toupie
est la somme des vitesses angulaires associées à chacun de ces angles, c’est-à-dire à chacune des
rotations élémentaires qui constituent la rotation globale de l’objet :
ω = ˙ φẑ + ˙θê 1 + ˙ ψê 3 (10.63)