Document de cours de référence

10. Référentiels accélérés 171
En substituant dans l’équation (10.48), on trouve simplement
En multipliant par le facteur intégrant ρ, on trouve une dérivée totale :
ρ¨α + 2˙ρ ˙α = 0 , (10.52)
0 = ρ 2 ¨α + 2ρ˙ρ ˙α = d dt (ρ2 ˙α) (10.53)
et on conclut que ρ 2 ˙α est constant. Cette quantité (multipliée par m) est en fait la composante en z du moment
cinétique du pendule, mais évaluée dans un repère tourant à la vitesse de précession. Le fait que cette quantité
soit constante dans le temps signifie que le pendule, en fonction de la coordonnée α, se comporte exactement
comme un pendule ordinaire en fonction de la coordonnée ϕ, mais dans un référentiel inertiel. Dans ce cas,
le mouvement du pendule ne montre aucune précession, mais une orbite elliptique dont l’orientation est fixe
(avec le point d’équilibre au centre de l’ellipse et non à l’un des foyers). On en conclut que, même en ne
supposant pas que ˙ϕ est constant, la précession du pendule s’accomplit à la vitesse −Ω sin λ.
10.7 * Mouvement libre d’un rigide : équations d’Euler
Nous avons affirmé à la section 9.9 que le mouvement d’un objet rigide sur lequel ne s’applique
aucun couple est plus facile à étudier dans un système d’axes liés à l’objet, en particulier si ces
axes sont des axes principaux de l’objet. Un tel système d’axes constitue un référentiel tournant.
La relation (10.11) nous permet maintenant d’étudier plus en profondeur le mouvement d’un tel
objet.
Si aucun couple ne s’applique sur l’objet, son moment cinétique (évalué au centre de masse) est
constant. Cependant, les composantes du moment cinétique par rapport au système d’axes fixes à
l’objet ne sont pas constantes. Leur dérivées par rapport au temps sont obtenues par la relation
(10.11):
( ) dJ
=
dt
i
( ) dJ
+ ω ∧ J = 0 (10.54)
dt
r
Comme J = Iω, où I est la matrice d’inertie, cette équation peut s’écrire
I ˙ω + ω ∧ (Iω) = 0 (10.55)
Dans le système des axes principaux, la matrice I est diagonale et l’équation ci-haut équivaut au
système d’équations suivant, appelé équations d’Euler :
I 1 ˙ω 1 + (I 3 − I 2 )ω 2 ω 3 = 0
I 2 ˙ω 2 + (I 1 − I 3 )ω 3 ω 1 = 0
I 3 ˙ω 3 + (I 2 − I 1 )ω 1 ω 2 = 0
(10.56)
Si l’objet possède un axe de symétrie, disons l’axe 3, alors I 1 = I 2 = I ′ et ce système d’équations
se réduit à
˙ω 1 + γω 2 ω 3 = 0
˙ω 2 − γω 3 ω 1 = 0 où γ = I 3 − I′
I ′ (10.57)
˙ω 3 = 0
Donc, dans ce cas, ω 3 est constant. D’autre part, en différentiant la première équation et en substituant
dans la deuxième, on trouve
¨ω 1 + (γω 3 ) 2 ω 1 = 0 (10.58)