Document de cours de référence

100 7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement
dernier, le rayon R des sphères et l’angle θ 2 est très simple : sin θ 2 = b/2R. Ceci vient du fait que
la quantité de mouvement mv 2 ′ de la cible après la collision provient de l’application sur un temps
extrêmement court d’une force très intense exercée au point de contact C des deux sphères et
dirigée suivant la droite qui relie les deux centres. Cette droite est donc parallèle à v 2 ′ . La relation
cos θ 1 = sin θ 2 =
b
2R
(7.30)
combinée à la relation (7.27), nous permet de calculer les angles et les vitesses v 1 ′ et v′ 2 en fonction
du paramètre d’impact b.
7.2 Théorème de Koenig et collisions inélastiques
Une collision est qualifiée d’inélastique si l’énergie mécanique des objets en collision n’est pas
conservée. Si le système composé des deux particules est isolé, il y a tout de même conservation de
la quantité de mouvement totale. Dans le but de mieux comprendre les facteurs limitant la perte
d’énergie lors d’une collision inélastique, nous allons premièrement énoncer et démontrer le premier
théorème de Koenig, portant sur l’énergie cinétique d’un ensemble de particules.
Premier théorème de Koenig
Ce théorème stipule que l’énergie cinétique totale d’un système est la somme de deux termes :
l’énergie cinétique associée au centre de masse et l’énergie cinétique du système par rapport à son
centre de masse, ou énergie cinétique interne (K int. ) :
K tot. = 1 2 M tot. V2 cm + K ∑
int. K int. = 1 2
m i (v i ′ )2 (7.31)
où v ′ i est la vitesse de la ie particule du système par rapport au centre de masse et V cm est la vitesse
du centre de masse du système. Ce théorème se prouve facilement en effectuant une transformation
galiléenne vers le référentiel du centre de masse :
i
v i = V cm + v ′ i (7.32)
alors
∑
K tot. = 1 2
m i (V cm + v i) ′ 2
i
( )
∑
∑
= 1 2
m i Vcm 2 + V cm ·
∑
(7.33)
m i v i
′ + 1 2
m i (v i ′ )2
i
i
i
Le deuxième terme du membre de droite s’annule, car l’expression entre parenthèses est la quantité
de mouvement totale du système dans le référentiel du centre de masse, c’est-à-dire zéro. Il reste
donc le résultat (7.31).
Expliquons : l’énergie cinétique d’un système dépend bien sûr du référentiel d’observation. Le
théorème de Koenig affirme que l’énergie cinétique est minimale et égale à K int. lorsqu’on l’évalue
dans le référentiel du centre de masse et que, dans tout autre référentiel, on doit ajouter à cette
valeur minimum un terme 1 2 M tot.Vcm 2 qui ne dépend que du mouvement du centre de masse et de
la masse totale du système (ce terme est donc indépendant du détail du mouvement interne du
système). Si le système est isolé (c’est-à-dire si aucune force externe n’agit sur lui) alors la vitesse
V cm de son centre de masse est constante et l’énergie cinétique 1 2 M tot. V2 cm associée au centre de
masse est constante. Cependant, l’énergie cinétique interne K int. n’est pas nécessairement constante
et peut se changer en énergie potentielle interne, se dissiper en chaleur, etc.