Document de cours de référence

64 5. Applications des lois du mouvement
Problème 5.4
Vous êtes responsable d’un canon anti-char situé à l’origine. Un char ennemi est situé à une distance d, sur
l’axe des x (r = dˆx) à t = 0 et possède une vitesse constante u = uŷ. Votre canon peut tirer un obus de
vitesse v 0 (à la sortie du canon). Vous avez le contrôle sur l’angle de tir θ (mesuré par rapport à l’horizontale)
et sur l’angle azimutal ϕ (la direction de tir dans le plan xy, mesurée par rapport à l’axe des x). Le problème
est de choisir θ et ϕ de façon à atteindre la cible. Les variables suivantes sont utiles : w = sin 2 θ et p = v 2 0 /g
(p est la portée maximale du canon). On néglige complètement la résistance de l’air.
a) Quelles sont les conditions à imposer sur d et u pour qu’il soit possible d’atteindre la cible?
b) Montrez que, pour atteindre la cible, on doit choisir
⎧
⎫
⎪⎨ ( ) u 2 [
( ) ]
w =
2
1 ⎪⎩ 1 − ±
√ u 2 2 ( ) d 2⎪⎬ 1 − − et tan ϕ = 2uv 0 √ w
v 0 v 0 p ⎪ ⎭ gd
(indice : considérez s, la distance entre l’origine et le char au temps t où il est atteint, et exprimez s de deux
façons différentes). Quelle est la signification physique des deux solutions (+ et −) et, en pratique, laquelle
des deux préféreriez-vous si vous étiez artilleur?
c) Donnez une expression très simple pour θ et ϕ dans l’approximation u ≪ v 0 et d ≪ p (utilisez un
développement de Taylor), pour les deux solutions ci-haut (+ et −).
Problème 5.5
Considérons un pendule de masse m et de longueur l suspendu à un pivot
fixe. Contrairement au cas étudié dans les notes de cours, ce pendule n’est
pas contraint d’osciller dans un plan, mais peut se mouvoir dans les deux
directions perpendiculaires à la tige qui le suspend.
θ
z
a) Supposons que l’amplitude du mouvement du pendule est petite, c’està-dire
que son angle d’inclinaison θ par rapport à la verticale est petit en
tout temps. Montrez que l’équation du mouvement de ce pendule est alors
approximativement donnée par
l
x
y
√
a = −ω 2 g
r ⊥ ω =
l
où r ⊥ est la projection du vecteur position sur le plan horizontal : r ⊥ =
xˆx + yŷ.
b) Montrez que la solution générale à cette équation du mouvement est
m
x(t) = A sin(ωt + α) y(t) = B sin(ωt + β)
où A, B, α et β sont des constantes qui dépendent des conditions initiales.
c) Quelles sont les conditions que ces constantes doivent respecter pour que le mouvement du pendule soit (i)
linéaire (c’est-à-dire que l’oscillation soit contenue dans un même plan vertical) et (ii) circulaire (c’est-à-dire
que le vecteur r ⊥ (t) trace un cercle dans le plan xy)?
d) Supposons maintenant que le pendule est en mouvement circulaire, mais que son inclinaison θ par rapport à
la verticale, quoique constante, ne soit pas nécessairement petite (cf. figure ci-dessous). Exprimez la fréquence
ω du mouvement circulaire en fonction de g, de l et de θ.