Document de cours de référence

174 10. Référentiels accélérés
Si I est le moment d’inertie de l’objet par rapport à son axe de symétrie, et I ′ son moment d’inertie
par rapport à un axe perpendiculaire, alors le moment cinétique de la toupie est
J = I ′ ˙θê1 + I ′ ˙ φ sin θê 2 + I( ˙ ψ + ˙ φ cos θ)ê 3 (10.68)
La dérivée du moment cinétique dans référentiel inertiel (non tournant) est égale au couple, mais
c’est la dérivée dans le référentiel tournant qui nous intéresse ici :
( ) ( )
dJ dJ
= + Ω ∧ J = N (10.69)
dt dt
i
Si on développe cette équation en utilisant les expressions (10.65) et (10.68), on trouve le système
suivant de trois équations différentielles couplées :
⎧
N 1 = I
⎪⎨
′ (¨θ − φ ˙2
sin θ cos θ) + Iφ ˙ sin θ( ψ ˙ + φ ˙ cos θ)
N 2 = −I ′ ( ¨φ + 2 ˙θ φ ˙ cos θ) + I ˙θ( ψ ˙ + φ ˙ cos θ)
(10.70)
⎪⎩
N 3 = I d dt ( ˙ ψ + ˙ φ cos θ)
Dans le cas d’une toupie pesante, le couple est entièrement dirigé le long de l’axe ê 1 , et vaut
mgh sin θ (h est la distance entre le pivot de la toupie de son centre de masse). Les équations du
mouvement de la toupie symétrique sont alors
⎧
mgh sin θ = I
⎪⎨
′ (¨θ − φ ˙2
sin θ cos θ) + Iφ ˙ sin θ( ψ ˙ + φ ˙ cos θ)
0 = −I ′ ( ¨φ + 2 ˙θ φ ˙ cos θ) + I ˙θ( ψ ˙ + φ ˙ cos θ)
(10.71)
⎪⎩
0 = I d dt ( ˙ ψ + ˙ φ cos θ)
La dernière équation signifie que ω 3 = ψ ˙ + φ ˙ cos θ est une constante, c’est-à-dire que la vitesse
angulaire de la toupie par rapport à son axe est constante. On peut donc récrire les deux premières
équations comme
{
mgh sin θ = I ′ (¨θ − φ ˙2
sin θ cos θ) + Iω ˙ 3 φ sin θ
0 = −I ′ ( ¨φ + 2 ˙θ φ ˙
(10.72)
cos θ) + Iω 3 ˙θ
et le système est alors réduit à deux variables (θ et φ) qui décrivent l’orientation de l’axe de la
toupie en fonction du temps.
r
Précession uniforme
Sans résoudre les équations (10.72) de manière exacte et complète, ce qui est d’ailleurs impossible,
tournons-nous vers quelques cas particuliers. Tout d’abord, supposons que nous avons un mouvement
de précession uniforme, sans nutation, de sorte que θ est constant. Dans ce cas, les équations
se simplifient :
mgh sin θ = φ ˙ sin θ(−I ′ φ˙
cos θ + Iω 3 )
(10.73)
0 = −I ′ ¨φ
On en conclut que ˙ φ est une constante (la fréquence de précession) déterminée par la solution d’une
équation quadratique :
−I ′ cos θ ˙ φ 2 + Iω 3 ˙ φ − mgh = 0 (θ ≠ 0) (10.74)