Document de cours de référence

134 9. Moment cinétique et rotation des corps
particule dans S ′ est r ′ i = r i − r 0 . Donc la vitesse de la même particule dans S ′ est v ′ i = v i − v 0 .
Le moment cinétique évalué à r 0 dans le référentiel S ′ est alors
J ′ =
N∑
m i (r i − r 0 ) ∧ (v i − v 0 )
i=1
= J −
N∑
m i r 0 ∧ v i −
N∑
m i r i ∧ v 0 +
N∑
m i r 0 ∧ v 0
(9.10)
i=1
i=1
i=1
( N
) (
∑
N
)
∑
= J − r 0 ∧ m i v i − m i r i ∧ v 0 + M tot. r 0 ∧ v 0
i=1
i=1
= J − r 0 ∧ P tot. − M tot. (R cm − r 0 ) ∧ v 0
où P tot. est l’impulsion totale du système. En particulier, si r 0 = R cm , on retrouve la relation
J cm = J − R cm ∧ P tot. , ce qui démontre le théorème.
C.Q.F.D.
Le second théorème de Koenig s’applique aussi au couple total :
N = N cm + R cm ∧ F tot. (9.11)
où F tot. est la force totale agissant sur le système. La même démonstration que ci-haut peut être
reprise, en la modifiant légèrement :
N ′ =
N∑
(r i − r 0 ) ∧ F i = N − r 0 ∧
Si r 0 = R cm , on retrouve la relation N cm = N − R cm ∧ F tot. .
Notons ici que la force F i est indépendante du référentiel.
N∑
F i
(9.12)
i=1
i=1
= N − r 0 ∧ F tot.
C.Q.F.D.
Le second théorème de Koenig ne serait pas très utile si le théorème du moment cinétique ne
s’appliquait pas séparément au moment cinétique intrinsèque et au couple intrinsèque :
N cm = dJ cm
dt
(9.13)
Cette relation n’est pas immédiatement évidente, car le théorème du moment cinétique découle de
la deuxième loi de Newton (F = ma) et celle-ci n’est strictement valable que dans un référentiel
d’inertie, alors que la relation (9.13) reste valable même si le centre de masse de l’objet est accéléré.
Pour démontrer la relation (9.13), substituons les relations (9.9) et (9.11) dans le théorème du
moment cinétique (9.8) :
Or,
dJ cm
dt
+ d dt (R cm ∧ P tot. ) = N cm + R cm ∧ F tot. (9.14)
d
dt (R cm ∧ P tot. ) = dR cm
∧ P
dt tot. + R cm ∧ dP tot.
dt
(9.15)
= V cm ∧ P tot. + R cm ∧ F tot.
Le premier terme s’annule car P tot. = M tot. V cm . On peut donc affirmer, par différence avec
l’équation précédente, que N cm = ˙J cm , c’est-à-dire que le théorème du moment cinétique s’applique
aux parties orbitales et intrinsèque séparément.