Document de cours de référence

190 11. Relativité restreinte
futur
ct
s 2 < 0
s 2 > 0
y
s 2 = 0
s 2 < 0
x
cône de lumière
passé
s 2 > 0
Figure 11.3. Le cône de lumière sépare les régions de l’espace-temps qui sont séparées de l’origine par
un intervalle de genre temps (s 2 > 0) de celles qui en sont séparées par un intervalle de genre espace
(s 2 < 0).
deux transformations de Lorentz de rapidités η 1 et η 2 (dans la même direction) est équivalente à
une transformation de Lorentz de rapidité η 3 = η 1 +η 2 . Ceci découle directement des lois d’addition
des sinus et cosinus hyperboliques.
Intervalle
Lorsqu’on procède à une rotation des axes cartésiens en deux dimensions en suivant la formule
(11.27), la distance l entre le point considéré et l’origine demeure la même dans les deux systèmes
d’axes :
l 2 = x 2 + y 2 = (x ′ ) 2 + (y ′ ) 2 (11.30)
Cela se vérifie aisément par substitution. On dit que la distance entre un point et l’origine est un
invariant, une quantité qui reste inchangée lors de la transformation des coordonnées.
De même, en relativité, un invariant existe. Comme les coordonnées (x, ict) se comportent
mathématiquement comme les coordonnées (x, y) dans le plan, on devine que la quantité
x 2 + (ict) 2 = x 2 − c 2 t 2
pourrait jouer ce rôle. On définit l’intervalle s entre un événement (x, ct) et l’origine de l’espacetemps
par
s 2 = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 (11.31)
(noter le signe relatif entre t 2 et les coordonnées spatiales). L’intervalle est un invariant de la
transformation de Lorentz, c’est-à-dire que
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = c 2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2 (11.32)