Document de cours de référence

202 11. Relativité restreinte
une vitesse V = V ˆx par rapport à S. Calculons la composante verticale de l’impulsion totale avant
et après la collision dans S ′ , à l’aide de la relation (11.44):
P tot.
y
P tot.
y
= 1 mv y
γ 1 − v x V/c 2 − 1 mv y
γ 1 + v x V/c 2 (avant)
= − 1 mv y
γ 1 − v x V/c 2 + 1 mv y
γ 1 + v x V/c 2 (après)
(11.82)
On constate que ces deux quantités sont différentes : la quantité de mouvement n’est plus conservée
dans S ′ .
B
y
x
A
Figure 11.5. Collision de deux particules à 45 ◦ dans le référentiel S.
La modification qu’on doit apporter est de remplacer
p = m dr
dt
par
p = m dr
dτ
(11.83)
où τ est le temps propre de la particule, c’est-à-dire le temps tel qu’il s’écoule dans le référentiel
de la particule. Ceci équivaut à la relation (11.80), car dτ/dt = √ 1 − v 2 /c 2 .
Quadrivecteur impulsion
En fait, on doit considérer le quadrivecteur impulsion défini par
(
)
mc
p = mu = √
1 − v2 /c , mv
√ 2 1 − v2 /c 2
(11.84)
Les composantes spatiales de ce quadrivecteur forment la quantité de mouvement relativiste. Quant
à la composante temporelle, elle est égale à p 0 = E/c, où E est défini par l’expression (11.81). Montrons
la pertinence de cette expression en étudiant sa limite non relativiste : dans l’approximation
v/c ≪ 1, on a le développement de Taylor
E =
mc 2
√
1 − v2 /c 2 ≈ mc2 + 1 2 mv2 + · · · (11.85)
Donc, modulo la constante mc 2 , E = p 0 c est l’énergie cinétique de la particule. En fait, on définit
l’énergie cinétique relativiste comme la différence entre E et la constante mc 2 :
(
)
K = E − mc 2 = mc 2 1
√
1 − v2 /c − 1 (11.86)
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