Document de cours de référence

180 10. Référentiels accélérés
Problème 10.9
Considérez le dispositif illustré ci-contre, appelé gyrocompas. Le gyrocompas
comporte deux axes reposant sur des roulements à bille et
donc le long desquels aucun couple ne peut être appliqué. Ces axes
sont l’axe x indiqué, ainsi que l’axe de rotation du volant d’inertie,
rotation qui s’effectue à une vitesse angulaire ω. Désignons par ê un
vecteur unitaire dirigé le long de cet axe de rotation, de sorte que la
vitesse angulaire du volant d’inertie est ω = ωê. Le gyrocompas repose
en plus sur une plate-forme tournant autour d’un axe vertical à une
vitesse angulaire Ω = Ωẑ. En pratique, un moteur garde la vitesse ω
constante, et la plate-forme tournante n’est autre que la Terre en rotation
sur elle-même.
Le but du problème est de montrer que l’axe ê finit par être parallèle
à ẑ et que cette position est stable, de sorte que le gyrocompas peut
être utilisé comme instrument de navigation indiquant le nord.
a) Soit I le moment d’inertie du gyrocompas par rapport à l’axe ê et I ′ son moment d’inertie par rapport
à l’axe x (cet axe est fixe dans le référentiel tournant). Sachant que la composante en x du couple doit être
nulle, montrez que ceci implique la relation
˙J x − ΩJ y = 0
x
z
ê
Ω
ω
Indice : la relation (10.11) des notes est certainement utile.
b) Par construction, l’axe ê est situé dans le plan yz. Soit θ l’angle que fait cet axe avec ẑ, considéré positif
s’il incline vers l’axe y, négatif dans le cas contraire. Montrez que l’équation ci-haut est équivalente à
Faites bien attention aux signes!
I ′¨θ + IΩω sin θ = 0
c) Montrez que l’axe ê, en conséquence de cette équation, se trouve à osciller autour de l’axe z. Donnez la
fréquence α de cette oscillation dans l’approximation où θ est petit.
d) Que se passe-t-il selon vous si le roulement à bille de l’axe des x est sujet à un léger frottement?
Problème 10.10
Une rivière de largeur D coule vers le nord à une vitesse v, à une latitude λ.
a) Montrez que l’effet de la force de Coriolis dans ce cas est que le niveau de la rive droite est plus élevé que
celui de la rive gauche, d’une quantité ∆h donnée par
∆h =
2DΩv sin λ
g
où Ω est la fréquence angulaire de la rotation de la Terre sur elle-même. Vous devez supposer que la grandeur
de l’accélération de Coriolis est petite en comparaison de g.
b) Que donne numériquement le résultat de (a) pour une rivière de 1 km de large s’écoulant à 5 km/h à la
latitude de Sherbrooke (45 ◦ )?