Document de cours de référence

18 2. Mouvement d’un point
La relation exacte entre les deux est plutôt
dv
dt = 1 dv 2
2v dt
= v · a
v
(2.16)
Ainsi, la vitesse peut être constante en grandeur sans que l’accélération soit nulle : il suffit que
l’accélération soit constamment perpendiculaire à la vitesse, comme dans un mouvement circulaire.
En effet, retournons à l’exemple (2.4) d’une particule en mouvement circulaire uniforme. La vitesse
et l’accélération s’obtiennent par différentiation :
v(t) = ωR(−ˆx sin ωt + ŷ cos ωt)
a(t) = −ω 2 R(ˆx cos ωt + ŷ sin ωt)
= −ω 2 r(t)
(2.17)
Notons que la grandeur de r est constante : r 2 = R 2 . Il s’ensuit que la vitesse est perpendiculaire
à la position :
0 = d dt r2
= dr
dt · r + r · dr
dt
= 2r · v
(2.18)
Comme v 2 = ω 2 R 2 est aussi constant, on conclut de même que la vitesse est perpendiculaire à
l’accélération (v · a = 0), qui est d’ailleurs opposée à la position (a = −ω 2 r). L’accélération dans
ce cas est qualifiée de centripète, car elle est dirigée vers le centre du cercle.
2.3 Calcul de la position par intégration
La donnée de la position en fonction du temps, r(t), permet d’en calculer les dérivées (vitesse et
accélération) de manière immédiate. De même, la donnée de la vitesse v(t) ou de l’accélération
a(t) en fonction du temps permet en principe de remonter à la position r(t) par un processus
d’intégration. Par exemple, considérons une particule animée d’une accélération constante a. La
vitesse s’obtient alors par une première intégration :
∫
v(t) = a dt = at + v 0 (2.19)
où v 0 est une constante d’intégration, dans ce cas-ci un vecteur constant. Ce vecteur représente en
fait la vitesse de la particule à l’instant t = 0, d’où la notation utilisée. Techniquement, l’intégrale
que nous venons d’effectuer est constituée de tois intégrales, une pour chaque composante de
l’intégrant, qui est un vecteur. On peut ensuite intégrer la vitesse pour retrouver la position :
∫
r(t) = (at + v 0 )dt = 1 2 at2 + v 0 t + r 0 (2.20)
où une autre constante d’intégration, r 0 , a été ajoutée. Cette constante est en fait la position de
la particule au temps t = 0. Notons ici que la vitesse initiale n’a pas nécessairement la même
direction que l’accélération constante a, de sorte que le mouvement n’est pas rectiligne en général,
mais plutôt parabolique. Pour le démontrer, choisissons un système d’axes particulier dans lequel
a = aẑ et v 0 = v 0z ẑ+v 0xˆx (il est toujours possible de choisir les axes x, y, z de la sorte). Choisissons